如何判断一棵二叉树是否对称（轴对称）？

简化版

一棵树对称，等价于它的左子树和右子树互为镜像。递归比较两棵子树：两个根值要相等，且左树的左孩子对右树的右孩子、左树的右孩子对右树的左孩子（外侧配外侧、内侧配内侧）。只要每一对都镜像匹配，整棵树就对称。也能用队列迭代，成对入队比较。

详细版

关键：对称不是「左子树等于右子树」，而是「左子树和右子树互为镜像」。镜像意味着比较时要交叉：

boolean isSymmetric(TreeNode root) {
    if (root == null) return true;
    return isMirror(root.left, root.right);
}
boolean isMirror(TreeNode a, TreeNode b) {
    if (a == null && b == null) return true;       // 都空，镜像
    if (a == null || b == null) return false;      // 一空一非空，不镜像
    return a.val == b.val                          // 根值相等
        && isMirror(a.left,  b.right)              // 外侧：a的左 对 b的右
        && isMirror(a.right, b.left);              // 内侧：a的右 对 b的左
}

以这棵对称树为例：

比较左 2 和右 2：值相等；左2的左(3) 对右2的右(3)✓；左2的右(4) 对右2的左(4)✓。全部匹配，对称。

完整版教学

一、为什么是「交叉比较」而不是「同侧比较」

轴对称的含义是「以根为轴，左右翻折后能完全重合」。翻折后，左子树的最外侧会和右子树的最外侧重合，左子树的内侧和右子树的内侧重合。落到节点上就是：

左子树的左孩子 ↔ 右子树的右孩子（外对外）
左子树的右孩子 ↔ 右子树的左孩子（内对内）

所以递归时是交叉匹配 (a.left, b.right) 和 (a.right, b.left)，而不是 (a.left, b.left)。这是本题最核心、也最容易写错的地方。

二、递归的三种情况

比较两个节点 a、b 是否镜像：

都为空：镜像成立（对称位置都没节点）。
一个空一个非空：结构不对称，返回 false。
都非空：值必须相等，且左右交叉的两对子节点也各自镜像。

递归出口是前两种，第三种把问题分解到更小的子问题。

三、迭代解法：成对入队

用队列，每次成对取出应当镜像的两个节点比较：

boolean isSymmetric(TreeNode root) {
    if (root == null) return true;
    Queue<TreeNode> q = new LinkedList<>();
    q.offer(root.left); q.offer(root.right);
    while (!q.isEmpty()) {
        TreeNode a = q.poll(), b = q.poll();
        if (a == null && b == null) continue;
        if (a == null || b == null || a.val != b.val) return false;
        q.offer(a.left);  q.offer(b.right);   // 外侧一对
        q.offer(a.right); q.offer(b.left);    // 内侧一对
    }
    return true;
}

入队顺序保证每次 poll 出来的两个正好是「应当镜像」的一对。注意入队顺序仍是交叉的（a.left 配 b.right）。

四、和「相同的树」「翻转」的关系

判断两棵树相同：对应位置同侧比较 (a.left,b.left)、(a.right,b.right)，值都相等。
判断对称：一棵树的左右子树交叉比较（互为镜像）。
翻转二叉树：把树改成镜像。

三者是一组「围绕镜像/相等」的题：判断对称 = 判断「左子树和翻转后的右子树是否相同」。理解一个就能推出其他。

五、复杂度

时间 O(n)：每个节点被比较一次。
空间 O(h)：递归栈深度为树高（迭代版是队列宽度 O(w)）。

六、常见误区与追问

题型	比较方式	是否修改树
相同的树	同侧比较：左对左、右对右	不修改
对称二叉树	交叉比较：左对右、右对左	不修改
翻转二叉树	每个节点交换左右孩子	修改结构

记忆钩子：对称不是「左右子树长得一样」，而是「左子树照镜子后等于右子树」。

误区：判断对称时同侧比较左右孩子。 同侧比较是判断两棵树是否相同；对称必须交叉比较外侧和内侧。
误区：只比较结构不比较节点值。 镜像要求结构对应且节点值相等，少任意一个条件都不成立。
误区：判断对称需要先翻转一棵子树。 可以这么想，但实现上通常直接递归比较镜像位置，避免修改原树。
追问：空树是否对称？ 通常认为空树对称；根为空直接返回 true。
追问：迭代版为什么要成对入队？ 每次出队的两个节点是一组镜像候选，必须同时比较空值、节点值和下一层交叉孩子。
追问：复杂度是多少？ 时间 O(n)，每个节点最多比较一次；递归空间 O(h)，迭代队列最坏 O(w)。

七、加强记忆

树对称 ⟺ 左右子树互为镜像。递归比较两节点：值相等，且交叉匹配——左树的左对右树的右（外对外）、左树的右对右树的左（内对内）。交叉是关键，别写成同侧。也可用队列成对入队比较。它和「判断相同树（同侧比较）」「翻转」是一组镜像题。时间 O(n)。

简化版

详细版