如何把罗马数字转换成整数？（LeetCode 13）

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把罗马数字字符串转成整数。罗马数字用 I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000 表示，通常从大到小相加；但有六种「小在大前」的减法情形（IV=4、IX=9、XL=40、XC=90、CD=400、CM=900）。核心规则：从左到右扫描，如果当前字符代表的值 < 它右边字符的值，就减去它，否则加上它。因为「小的在大的左边」意味着这是减法组合。

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int romanToInt(String s) {
    Map<Character, Integer> val = Map.of(
        'I', 1, 'V', 5, 'X', 10, 'L', 50,
        'C', 100, 'D', 500, 'M', 1000);
    int total = 0;
    for (int i = 0; i < s.length(); i++) {
        int cur = val.get(s.charAt(i));
        // 若当前值 < 右边值，说明是减法组合（如 IV），减去当前值
        if (i + 1 < s.length() && cur < val.get(s.charAt(i + 1))) {
            total -= cur;
        } else {
            total += cur;
        }
    }
    return total;
}

映射表：7 个罗马字符到数值。
判断加还是减：当前字符值 < 右邻字符值 → 减（减法组合的前一位），否则加。
减法组合：IV、IX、XL、XC、CD、CM 共 6 种，都是「小值在大值左边」。
复杂度：O(n) 时间、O(1) 空间。

完整版教学

一、罗马数字规则速览

罗马数字用 7 个字母表示数值：

字符	I	V	X	L	C	D	M
值	1	5	10	50	100	500	1000

基本规则：一般从大到小排列、数值相加（如 MCMXCIV… 先不管）。VIII = 5+1+1+1 = 8，XXVII = 10+10+5+1+1 = 27。

特殊规则（减法）：为避免连写四个相同字符，规定 6 种「小值放在大值左边表示减」的组合：

IV = 4（5-1）、IX = 9（10-1）
XL = 40（50-10）、XC = 90（100-10）
CD = 400（500-100）、CM = 900（1000-100）

二、核心洞察：小在大前则减

观察减法组合的共性：当一个较小的数值出现在较大数值的左边时，它要被减掉。而正常情况（大在前、小在后）是相加。所以有个统一的判断规则：

从左到右扫描每个字符，若它的值 < 右边相邻字符的值，就减去它；否则加上它。

IV：I(1) < V(5) → 减 I，即 -1 + 5 = 4。
VI：V(5) > I(1) → 加 V，5 + ... ，I 是最后一位直接加，5 + 1 = 6。

这个规则一举涵盖了所有加法和 6 种减法情形，不用单独枚举减法对。

三、逐位处理逻辑

遍历字符串每个字符 s[i]：

取它的值 cur。
看右邻：若 i+1 存在且 cur < val[s[i+1]]（当前比右边小）→ total -= cur（它是减法组合的前一位）。
否则 → total += cur。

最后一位没有右邻，一定是加。累加完即结果。

例 MCMXCIV（1994）：

M(1000) ≥ C → +1000
C(100) < M(1000) → -100
M(1000) ≥ X → +1000
X(10) < C(100) → -10
C(100) ≥ I → +100
I(1) < V(5) → -1
V(5) 最后一位 → +5
合计 1000-100+1000-10+100-1+5 = 1994。✔

四、另一种等价写法：先全加、遇减法对减两倍

也可以「先把所有字符值全加起来，再对每个减法组合减去 2 倍的小值」。但「比较相邻、小则减」的写法更简洁通用，推荐。用 HashMap 或 switch 存映射都行，字符少，O(1) 空间。

五、反向问题：整数转罗马数字（12）

孪生题 整数转罗马数字（12）用贪心：准备一个从大到小的「数值-符号」对照表（含 1000、900、500、400、100、90、50、40、10、9、5、4、1 及对应符号），从最大的开始，能减就减、拼上对应符号，直到把整数减到 0。两题一起掌握，一个是「罗马→数字」的模拟、一个是「数字→罗马」的贪心。

六、相邻比较为何能统一加减规则

合法罗马数字中，某个较小符号放在更大符号之前时，它就是减法贡献；否则为加法贡献。逐字符看右邻相当于把 IV 计算为 -I+V，把普通降序段逐项相加，不需要先把字符配成 token。

MCMXCIV
M=+1000
C<M -> -100，M=+1000
X<C -> -10，C=+100
I<V -> -1，V=+5
总和 1000-100+1000-10+100-1+5
结果 1994

校验维度	本题必须保持的结论
循环/递推不变量	扫描到 i 后，total 是已决定符号的前缀贡献；只有当前值与右邻关系决定当前正负。
边界条件	题目通常保证输入是合法罗马数字；若要求校验合法性，仅靠“小于右邻则减”不够。
复杂度与代价	单次线性扫描 O(n)，映射表固定 7 项为 O(1) 空间。
自检方式	用最小输入、典型输入和触及边界的输入分别手推，结果应与定义一致。

这组推演的作用不是替代证明，而是把抽象规则落到每一步状态变化上。面试写完代码后，应主动指出不变量如何保证不漏解，以及边界为何不会越界或死循环。若手推结果与定义不一致，应先修正状态语义，而不是继续给代码打补丁。

七、面试现场如何验证这道题

数学题不能只凭样例相信公式，必须同时核对定义域、推导条件和定宽整数边界。本题应先复述这条不变量：扫描到 i 后，total 是已决定符号的前缀贡献；只有当前值与右邻关系决定当前正负。只有代码的初始化、更新顺序和终止条件都维持它，样例通过才具有证明力。

典型路径从“MCMXCIV”开始手推，最后应得到“结果 1994”。
边界复核：题目通常保证输入是合法罗马数字；若要求校验合法性，仅靠“小于右邻则减”不够。
代价复核：单次线性扫描 O(n)，映射表固定 7 项为 O(1) 空间。
用 0、1、最小合法值和最大合法值检查公式的定义域。
乘法、取绝对值或取负前先判断是否可能触及 Integer.MIN_VALUE 等不对称边界。
若算法依赖单调性、抵消或整除关系，要明确题设保证何时成立、何时必须额外验证。

最后要主动构造一个“少写一次循环、改变一个不等号或交换两行更新就会失败”的反例。能说清反例破坏了哪条不变量，比只报出复杂度更能证明真正掌握了算法。

记忆钩子：本题的代码可以压缩，但“扫描到 i 后，total 是已决定符号的前缀贡献；只有当前值与右邻关系决定当前正负。”这条正确性主线不能省。

八、常见误区与追问

误区：任意小字符放在大字符前都构成合法减法。 合法表示只允许 IV、IX、XL、XC、CD、CM 等规定组合；本题输入合法才可简化判断。
误区：遇到减法组合要同时跳过两个字符。 逐字符正负贡献法无需跳过，前者减、后者正常加即可。
误区：最后一个字符也要与右邻比较。 它没有右邻，贡献必为正，直接相加。
追问：III 如何计算？ 每个 I 都不小于右邻或位于末尾，因此 1+1+1=3。
追问：整数转罗马为何使用降序表？ 每次选择不超过剩余值的最大合法符号，包含减法组合后可贪心构造规范表示。
追问：若输入可能是 IL 怎么办？ 数值扫描会算出 49，但它不是规范写法；需要额外语法规则或回转后比对来验证。

九、加强记忆

罗马数字转整数 = 从左扫描，「小在大前则减，否则加」。7 个字符映射到值（I/V/X/L/C/D/M = 1/5/10/50/100/500/1000）。规则：若当前字符值 < 右邻字符值 → total -= cur（减法组合前一位），否则 total += cur。这一条统一涵盖 6 种减法组合（IV/IX/XL/XC/CD/CM）和所有加法。O(n) O(1)。反向题「整数转罗马」用贪心（大数值符号优先能减就拼）。核心：小的在大的左边，就减掉它。

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