如何检查线性回归的基本假设？

简化版

OLS 系数无偏依赖条件均值设定正确和外生性，经典标准误还依赖独立同方差；残差正态主要影响小样本推断，并不是预测有效的必要条件。

回答时应把“线性、独立、同方差与误差分布诊断”讲清，再说明如何验证和落地；关键边界是：R² 高不能证明假设成立；残差近正态也不能排除内生性，业务因果结构必须另查。

OLS 的关键假设要按目标拆开：条件均值形式与外生性关系到系数偏差，同方差和残差相关性关系到经典标准误，残差正态主要影响小样本推断。预测误差不正态并不自动使点预测失效，残差近正态也不能排除内生性。

残差—拟合图检查非线性和漏斗，Q-Q 图看尾部，VIF 只诊断共线。发现问题后分别采用变换、样条、稳健标准误、分组误差或因果设计；R² 高不能替代这些检查。

检查线性回归假设前必须先区分目标：点预测、系数关联解释和因果推断依赖的条件并不相同。

线性假设指 E[Y|X] 在线性预测子上正确，外生性要求 E[ε|X]=0。同方差主要关系到经典标准误，预测时可容忍但区间估计要修正。

非线性可加变换或 spline，异方差用稳健标准误或加权最小二乘，相关误差用聚类/时间序列结构。内生性需设计或工具变量。

在同方差且误差不相关等经典条件下，OLS 条件方差为：

Var(β_hat|X)=σ²(XᵀX)^(-1) under homoscedasticity

异方差或相关误差出现后，这个经典方差公式不再适用，但系数是否有偏还取决于均值设定与外生性。

若预测值从 10 增到 100 时残差标准差由 2 增到 20，残差—拟合图会呈漏斗状。若条件均值与外生性仍成立，OLS 点估计可保持一致，但常规同方差标准误可能严重失真。

残差—拟合图用于观察曲率和漏斗，Q-Q 图用于检查尾部，ACF 或分组残差用于检查相关结构，杠杆值与 Cook 距离用于识别影响点；VIF 只反映设计矩阵共线性，不能诊断外生性或因果方向。

若解释变量与误差相关，单靠稳健标准误无法消除系数偏差，需要随机化、自然实验或满足条件的工具变量识别。

可按下面的目标驱动流程诊断：

明确预测或推断目标 → 残差与结构诊断 → 区分假设违背 → 针对修复 → 新数据复查

先画残差—拟合值图并按时间、主体和关键人群切片，再检查 Q-Q、相关结构、VIF 与影响点；发现违背后要针对具体问题修复，而非统一套用稳健标准误。

诊断图、抽样口径和阈值应随模型版本保存，不能只留一个检验 p 值。数据范围变化后应重新检查，因为新区域可能暴露原训练区间看不到的非线性与异方差。

先判断违背的是均值形式、误差方差、相关结构还是外生性，再选择样条、稳健/聚类标准误、加权估计或研究设计。

非线性均值可通过变量变换、交互、样条或更合适模型修复；异方差若只影响推断，可使用 HC 稳健标准误，若方差结构可建模则可考虑加权最小二乘。重复测量或时间相关误差要使用聚类稳健标准误、GLS 或时间序列结构。高杠杆点不能自动删除，应回查数据来源并报告含/不含该点的敏感性分析。

外生性无法通过画残差图得到证明。遗漏变量、反向因果和测量误差会使 E[ε|X]≠0，此时稳健标准误只能修正不确定性估计，不能消除系数偏差。需要随机化、自然实验、固定效应、工具变量等识别设计，并分别说明附加假设。

正态性不是 OLS 无偏的必要条件；它主要支撑经典小样本精确检验。大样本推断还依赖相应渐近条件，不能只靠中心极限定理口号。

别把“残差正态”当全部假设：先查均值形式和外生性，再查方差与相关结构，最后才是小样本分布。不同违背影响不同目标，也对应不同修复，R² 无法替代残差诊断。