数组题为什么容易出现越界和 off-by-one 错误？

简化版

数组下标通常从 0 到 n-1，循环边界、区间开闭和空数组处理稍不统一就会越界或漏元素。写数组题最好固定使用左闭右开 [l, r) 思维，循环用 i < n，并单独检查空数组、单元素、首尾位置。

off-by-one 是“差 1 位”的边界错误，例如把 i <= n 写成遍历数组，最后会访问 a[n] 越界；或者二分里混用 [l,r] 和 [l,r)，导致死循环或漏查。

for (int i = 0; i < n; i++) {
  // 合法访问 a[i]
}

面试中不仅要能写对，还要能解释区间含义。推荐把数组区间记成 [start, end)，长度就是 end - start，空区间是 start == end，切片和遍历都更统一。

长度为 n 的数组，合法下标不是 1 到 n，而是 0 到 n-1。

n = 5
index: 0 1 2 3 4
value: a b c d e

所以遍历条件通常是 i < n。如果写成 i <= n，最后一次会访问 a[n]，越过最后一个元素。

记忆钩子：长度是 n，最后一个下标是 n-1。

off-by-one 常见于循环、切片、窗口、二分、前缀和。它不一定每次崩溃，有时只是漏掉第一个或最后一个元素。

错误例子：

for (int i = 0; i <= n; i++) {
  sum += a[i]; // i == n 时越界
}

漏元素例子：

for (int i = 1; i < n; i++) {
  sum += a[i]; // 如果没有刻意跳过 a[0]，这里漏了首元素
}

面试写代码时，边界错误比思路错误更常见。

推荐用 [l, r) 表示区间包含 l，不包含 r。

[0, n) 包含 0..n-1
长度 = n - 0 = n
[l, r) 长度 = r - l
空区间 = l == r

这和很多语言切片一致：

a[start:end] -> 包含 start，不包含 end

当你坚持一种区间模型，循环条件和长度计算会更统一。

二分查找常见两种写法：闭区间 [l, r] 和左闭右开 [l, r)。两者都可以，但更新规则不同。

区间模型	初始值	循环条件	丢弃左半
`[l, r]`	`l=0,r=n-1`	`l <= r`	`l = mid + 1`
`[l, r)`	`l=0,r=n`	`l < r`	`l = mid + 1` 或 `l = mid` 视问题

最危险的是初始用 [l,r]，循环又按 [l,r) 更新，结果不是死循环就是漏答案。

很多数组题在正常数据上能跑，空数组或单元素就崩。

[]
[7]
[1, 2]
[2, 1]

例如访问 a[0] 前要确认 n > 0。双指针题中，l < r 和 l <= r 的选择也要用单元素样例验证。

边界样例不只是测试，它能倒逼你确认区间含义。

前缀和常用长度 n+1 的数组：

prefix[0] = 0
prefix[i+1] = prefix[i] + a[i]
sum [l, r) = prefix[r] - prefix[l]

如果 a = [2, 4, 6]：

prefix = [0, 2, 6, 12]
sum [1, 3) = prefix[3] - prefix[1] = 12 - 2 = 10

这个设计让空前缀和区间求和都统一，减少特殊分支。

数组边界题记成“0 到 n-1，区间要统一”。遍历用 i < n，区间尽量用 [l,r)，长度就是 r-l，空区间就是 l==r。写完数组题一定拿空数组、单元素、双元素、首尾命中、不存在这 5 类样例过一遍，很多 off-by-one 错误会立刻露出来。