两个矩形是否重叠如何用投影区间判断？（LeetCode 836）
简化版
两个轴对齐矩形重叠，等价于它们在 x 轴投影有正长度交集，并且在 y 轴投影也有正长度交集。若一个矩形在另一个左边、右边、上边或下边，就不重叠；否则重叠。边界接触不算重叠，因为面积为 0。
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矩形用 [x1,y1,x2,y2] 表示左下和右上角：
boolean isRectangleOverlap(int[] rec1, int[] rec2) {
return rec1[0] < rec2[2] &&
rec2[0] < rec1[2] &&
rec1[1] < rec2[3] &&
rec2[1] < rec1[3];
}也可以写成“排除不重叠”：
return !(rec1[2] <= rec2[0] || rec2[2] <= rec1[0]
|| rec1[3] <= rec2[1] || rec2[3] <= rec1[1]);注意用 < 而不是 <= 来保证交集长度为正。
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一、重叠面积来自两个方向
轴对齐矩形的面积重叠，必须同时满足：
x 方向有正长度交集
y 方向有正长度交集只在 x 方向重合但 y 方向分开，面积为 0；只在边界接触，面积也为 0。
二、先看一维区间重叠
两个开面积意义下的一维区间 [a1,a2] 和 [b1,b2] 有正长度交集，当且仅当：
a1 < b2 && b1 < a2| 区间 A | 区间 B | 是否正重叠 |
|---|---|---|
[0,2] | [1,3] | 是 |
[0,1] | [1,2] | 否 |
[2,4] | [0,1] | 否 |
易错点：边界相等只是接触，不是有正长度交集，所以判断用
<。
三、矩形投影到两个轴
矩形 [x1,y1,x2,y2] 在 x 轴上的投影是 [x1,x2]，在 y 轴上的投影是 [y1,y2]。
因此重叠条件是：
rec1.x1 < rec2.x2
rec2.x1 < rec1.x2
rec1.y1 < rec2.y2
rec2.y1 < rec1.y2四个条件都成立，两个方向都有正长度交集。
四、排除法也很好记
不重叠只有四种情况：
rec1 在 rec2 左边
rec1 在 rec2 右边
rec1 在 rec2 下边
rec1 在 rec2 上边代码就是把这四种情况或起来，再取反。
五、边界接触为什么不算
题目通常要求“面积大于 0”。如果两个矩形只共享一条边：
rec1.x2 == rec2.x1x 方向交集长度为 0，面积自然是 0。此时不能返回 true。
六、复杂度与泛化
判断只需要常数次比较，时间 O(1)，空间 O(1)。
如果矩形不是轴对齐的，就不能只看 x/y 投影，需要使用分离轴定理等几何方法；但本题明确是轴对齐矩形。
七、常见误区与追问
- 误区：边界接触算重叠。 面积为 0，题目通常不算。
- 误区：只判断一个方向。 矩形面积重叠必须两个轴都有交集。
- 误区：把
<写成<=。 会把贴边情况误判成重叠。 - 追问：为什么投影交集能判断矩形重叠？ 轴对齐矩形是两个一维区间的笛卡尔积。
- 追问：复杂度是多少？ 常数次比较，
O(1)。 - 追问：非轴对齐矩形怎么办？ 需要更一般的几何碰撞检测，如分离轴定理。
八、加强记忆
矩形重叠先降维成区间重叠：x 有正交集，y 有正交集。公式记成 left1 < right2 && left2 < right1，两个轴各来一次。只要题目说面积大于 0，贴边就不是重叠。